A Navier-Stokes millenniumi problémájának napjainkban elért eredmények a kutatás és a tudomány területén
Két matematikus azt mutatja, hogy bizonyos körülmények között a Navier-Stokes-egyenletek olyan eredményeket adnak, amelyeknek nincs értelme.
A Navier-Stokes-egyenletek egyaránt kiemelkedően praktikusak, végtelen valós alkalmazásokkal, és egy még ismeretlen megoldás egyik legnehezebb és leghíresebb tisztán matematikai problémájának eredete [NASA, töredék].
A Navier-Stokes-egyenletek néhány, tömör kifejezéssel rögzítik a fizikai világ egyik legelterjedtebb jellemzőjét: a folyadékáramlást. Az 1820-as évekbeli egyenleteket manapság az óceán áramlataitól kezdve a turbulenciáig mindent modelleznek egy repülőgép vagy a szív véráramlása nyomán.
A fizikusok úgy vélik, hogy bombabiztos megbízhatóságú egyenletek. A matematikusok viszont gyanakodva néznek rájuk. A matematikusok számára nem sokat jelent, hogy látszólag dolgoznak. Bizonyítékot akarnak annak tévedhetetlenségére, hogy bármennyire is folyékony, bármennyire is előre jelzik az áramlását a jövőben, az egyenletek matematikája továbbra is működni fog. Ez a garancia elkerülte őket. Az első (vagy az első csapat), amely megmutatja, hogy a Navier-Stokes egyenletek mindig működnek, vagy példát mutat, hogy nem, el fogja nyerni azt a millió dolláros díjat, amelyet a Clay Matematikai Intézet kínál azoknak, akik működnek, például az egyik az úgynevezett hét millenniumi problémákat.
A matematikusok számos módszert hoztak létre a probléma megoldására. Egy új, 2017 szeptemberében online megjelent munka komoly kérdéseket vet fel azzal kapcsolatban, hogy e megközelítések közül az egyik, amelyet idővel követtek, képes lesz-e sikeres lenni. Tristan Buckmaster és Vlad Vicol, a Princetoni Egyetem tanulmánya az első eredmény, amely megállapította, hogy bizonyos feltételezések mellett a Navier-Stokes-egyenletek egymásnak nem megfelelő leírást adnak a fizikai világról.
Így lehetnek összetett instabilitások két olyan folyadék evolúciójában, amelyek különböző sebességgel mozognak egymás mellett. A matematikusok tudni akarják, hogy a Navier-Stokes-egyenletek mindig kínálnak-e evolúciót és csak egyet a kezdeti állapotból [Készlet megjelölése].
"Fogalmunk van az ezekben az egyenletekben rejlő problémákról, és miért nagyon lehetséges, hogy ezeket újra kell gondolni" - mondja Buckmaster.
Buckmaster és Vicol munkája azt mutatja, hogy amikor a Navier-Stokes-egyenletek megoldásait vastagon nyomon követik (inkább vázlatként, mint fényképként), akkor az egyenletek olyan értelmetlen eredményekhez vezetnek: azt mondják, hogy Ugyanaz a folyadék ugyanazokból a kiindulási körülményekből kiindulva két (vagy több) nagyon különböző állapotba kerülhet. Ez így vagy úgy egészen másképp folyhat. Ha igen, akkor az egyenletek nem tükrözik megbízhatóan azt a fizikai világot, amelyre tervezték őket.
Robbanó egyenletek
Ahhoz, hogy lássuk, hogyan bukhatnak meg az egyenletek, először képzeljük el az óceán áramának áramlását. Bennük keresztező áramok sokasága lehet, amelyek egyes részei egy irányban mozognak egy sebességgel, mások pedig más irányba más sebességgel. Ezek az egymást keresztező áramok kölcsönhatásba lépnek egymással a súrlódás és a víznyomás folyamatosan fejlődő kölcsönös játékában, amely meghatározza az áramlás módját.
A matematikusok ezt a kölcsönös játékot egy térképpel modellezik, amely megadja nekünk az áram irányát és nagyságát a folyadék minden helyzetében. Ez a térkép, amelyet vektormezőnek nevezünk, pillanatkép a folyadék belső dinamikájáról. A Navier-Stokes-egyenletek elkészítik azt a pillanatfelvételt, és időben előre futtatják, így megmondják, milyen lesz az a vektormező minden következő pillanatban.
Az egyenletek működnek. Olyan megbízhatóan írják le a folyadékáramlást, mint Newton megjósolja a bolygók jövőbeli helyzetét; a fizikusok megállás nélkül használják őket, és újra és újra egyetértenek a kísérleti eredményekkel. A matematikusok azonban anekdotikus megerősítésnél többet akarnak: bizonyítékot akarnak arra, hogy az egyenletek sérthetetlenek, hogy nem mindegy, hogy melyik vektormezőből indulunk ki, és hogy nem számít, hogy milyen messzire indulunk a jövőbe. egyenletek mindig egyedi vektormezőt adnak nekünk.
Ez a megfelelő millenniumi probléma tárgya: azt kérdezi, hogy a Navier-Stokes egyenletek rendelkeznek-e megoldásokkal (ahol a megoldások lényegében vektormezők) az összes kiindulópontra és az idő minden pillanatára. Ezeknek a megoldásoknak meg kell adniuk az áram pontos irányát és nagyságát a folyadék minden pontján. Az ilyen végtelenül nagy felbontású információkat szolgáltató megoldásokat "sima" vagy "sima" nevezzük. Sima megoldás esetén a mező minden pontjának van egy társított vektora, amely lehetővé teszi számunkra, hogy "simán" haladjunk a mezőn keresztül anélkül, hogy valaha is elakadnánk egy olyan ponton, amelyben nincs vektor, egy olyan pontban, ahol nem tudjuk, merre kell menni következő.