Diofantikus egyenletek megoldása - Gauss-féle
Ezt a cikket népszerűsítették a Menéame oldalon. Ha tetszett és szeretnél rá szavazni, lépj ide és említsd meg.
Motiváció
Tegyük fel, hogy a következő problémába ütközünk:
Egy férfi egy ruhaüzletbe megy, és 12 öltönyt vásárol, némelyik fekete és szürke, 1200 euróért. Ha a fekete öltönyök 30 euróval többet érnek, mint a szürke, és az utóbbiból minél kevesebbet vásárolt, akkor hány színt vásárolt az egyes színekből?
Emeljük fel:
Az egyenlet:
A matematika elvégzése a következő:
Ha arra gondoltál, hogy egyszerű egyenletrendszert kell megoldanunk, akkor tévedsz. Egyetlen egyenletünk maradt két ismeretlenrel. Hiányoznak az adatok? Nem. Meg tudjuk oldani. Üdvözöljük a Diophantine egyenletek.
Diophantine egyenletek
A diofantin-egyenlet olyan algebrai egyenlet, amelyben több olyan változó jelenik meg, amelyek megoldása egész szám. Vagyis a Diophantine egyenlet megoldása abból áll, hogy meghatározzuk, mely egész számok elégítik ki. Nevét a matematikustól veszik Alexandriai Diophantus, aki amellett, hogy az elsők között használta a szimbolizmust az algebrában, többek között ezen egyenletek tanulmányozásának szentelte magát
A fenti típusú diofantin-egyenleteket Diophantine-egyenleteknek nevezzük lineáris. Az ilyen típusú egyenletek ezen konkrét esete az, amelyet meg fogunk tanulni megoldani ebben a cikkben. Pontosabban bemutatunk (és bemutatunk) egy módszert az egyenlet egész megoldásának kiszámítására
Megoldások megléte
Az első eredmény, amelyet meg fogunk nézni és bemutatni fogunk, összefügg ezeknek az egyenleteknek a megoldásával. Menjünk vele:
Tétel:
A forma diofantin lineáris egyenletének akkor és csak akkor van egész megoldása, ha y legnagyobb közös osztója az .
Továbbá, ha hívjuk, akkor megvan, hogy az említett egyenlet egy adott megoldása a következőképpen érhető el:
lény .
1.- Balról jobbra következtetéssel kezdjük:
van egész számú megoldása, akkor vannak olyanok, hogy
Ahogy y közös osztója, akkor y, -vel .
Ezután a következők állnak rendelkezésünkre:
Vagyis van egy típusú kifejezésünk, egész számokkal. Következésképpen annyit kell osztaniuk a-val, hogy ezzel a bizonyításnak ezt a részét lezárják.