Egy léggömb emelkedik az atm-ben; szféra
A gumiból készült anyagok nem Hooke törvényei szerint működnek. Ezen az oldalon egy He gázzal felfújt léggömb viselkedését tanulmányozzuk.
Figyelembe vesszük egy olyan léggömb esetét, amely a tengerszinten héliumgázzal tölt fel és felszabadul. Tanulmányozni fogjuk a földgömb felemelkedési mozgását.
Ez egy példa, amely integrálja a részecske, a folyadékok és a termodinamika dinamikáját
Nyomás egy léggömb belsejében
Ha egy deformálatlan r0 sugarú ballont r> r0 sugárra fújunk, a ballon felülete a deformáció miatt rugalmas energiát nyer. A rugalmassági energia kifejezése, ha a léggömb T hőmérsékletű környezetben van
U = 4 π r 0 2 k R T (2 r 2 r 0 2 + r 0 4 r 4 - 3)
ahol k állandó mol/m 2 egységben, R = 8,3143 J/(K mol) a gázállandó .
A léggömb sugarának ra r + dr-tól való növeléséhez szükséges munka a belső Pint és a külső Pext közötti ΔP nyomáskülönbség hatására a ΔP nyomáskülönbség és a d V = d térfogatnövekedés szorzata. 3 π r 3) = 4 π r 2 dr
Ezt a munkát a léggömb felületének rugalmas energiájának növelésére fektetik.
d W = (d U dr) dr = 16 π k RT (r - r 0 6 r 5) dr 4 π r 2 Δ P dr = 16 π k RT (r - r 0 6 r 5) dr Δ P = 4 k RT r 0 (r 0 r - r 0 7 r 7) P int - P ext = 4 k RT r 0 (1 λ - 1 λ 7) λ = rr 0
Az ábra a függvény grafikonját mutatja
f (λ) = (1 λ - 1 λ 7)
A nyomáskülönbség gyorsan növekszik a λ = r/r0 hányadossal, eléri a maximumot, majd nagy λ értékek esetén 1/λ-ként csökken.
Megkapjuk a függvény végletét, az f (λ) függvény deriváltját nullával állítjuk be
- 1 λ 2 + 7 1 λ 8 = 0 λ 6 = 7 λ = 1,383
A léggömb felfújása
Kezdetben a léggömb Pext = P0 légköri nyomású és T0 hőmérsékletű környezetben n0 mol héliumgázt tartalmaz, sugara pedig r0. A ballonban lévő gáz nyomása P0. Az ideális gázegyenlet az
P 0 4 3 π r 0 3 = n 0 R T 0
Csatlakoztatjuk a léggömböt egy gázpalackhoz, amely Δn vakondokkal látja el. A ballon belsejében lévő gázmólok száma n = n0 + Δn. Az r sugarú gömb alakú léggömb belsejében a nyomás P.
Az ideális gázegyenletből
P 4 3 π r 3 = n R T 0 = n n 0 P 0 4 3 π r 0 3 P λ 3 = P 0 n n 0
Mivel a léggömb belső és külső része közötti nyomáskülönbség az
P - P 0 = 4 k R T 0 r 0 (1 λ - 1 λ 7)
Ezt a két egyenletet egyesítve kiszámítjuk a ballon sugárját λ = r/r0
n n 0 1 λ 3 - 1 = 16 π k r 0 2 3 n 0 (1 λ - 1 λ 7)
a polinom valódi gyöke
λ 7 + b λ 6 - a λ 4 - b = 0 a = n n 0 b = 16 π k r 0 2 3 n 0
A λ kiszámítása után valamilyen numerikus eljárással a léggömb belseje és külseje közötti nyomáskülönbség megegyezik
Δ P = P 0 16 π k r 0 2 3 n 0 (1 λ - 1 λ 7)
Példa.
- Légköri nyomás, P0 = 101300 Pa
- Környezeti hőmérséklet, T0 = 30º = 303 K
- A ballon kezdeti sugara r0 = 42 cm
- A k = 0,466235 állandó értékét beállítottuk
A kezdeti mol mol száma
P 0 4 3 π r 0 3 = n 0 R T 0 n 0 = 12,5
A befecskendező szivattyú minden egyes bekapcsolásakor a ballonban lévő gáz 5 mol-kal nő.
A földgömb új sugarának kiszámításához meg kell oldania az egyenletet
λ 7 + b λ 6 - a λ 4 - b = 0 a = 12,5 + i · 5 12,5 b = 16 π · 0,4623 · 0,42 2 3 · 12,5 = 0,10931 i = 1,2,3. Δ P = 101300 · 0,10931 (1 λ - 1 λ 7) = 11073,1 (1 λ - 1 λ 7) Pa
valamilyen numerikus eljárással, majd kiszámoljuk a ballon belseje és külseje közötti ΔP nyomáskülönbséget.
Megkapjuk a nyomást cm vízben, szorozva h-t kettővel, amint azt az alábbi szimulációban láthatjuk
Tevékenységek
A gomb címmel Új
A gomb címmel Indul
5 mol gázt injektálnak a ballonba
Az interaktív program kiszámítja a léggömb r sugarát cm-ben és a ΔP nyomáskülönbséget Pa-ban. A manométer méri a víz nyomáskülönbségét cm-ben. Például a 4473,3 Pa nyomáskülönbség ekvivalens
Δ P ρ g = 4473,3 1000 9,8 = 0,4564 m = 2 22,8 cm
A gomb címmel Indul és a léggömböt további 5 mol gázzal felfújják és így tovább.
Egy léggömb, amely felemelkedik
A gömb alakú léggömböt n mól héliumgázzal töltjük fel a tengerszinten, ahol a nyomás P0 és a hőmérséklet T0. Ha Pint a nyomás a léggömb belsejében
P int 4 3 π r 3 = n R T 0
A léggömb belső és külső része közötti nyomáskülönbség
P int - P 0 = 4 k R T 0 r 0 (1 λ - 1 λ 7) λ = r r 0
A földgömb sugara a tengerszint felett az egyenlet gyökere
λ 7 + b λ 6 - a λ 4 - b = 0 a = n n 0 b = 16 π k r 0 2 3 n 0
A nyomás magasságváltozása lineáris atmoszférában
Feltételezzük, hogy a T hőmérséklet lineárisan csökken a magassággal és.
T = T 0 (1 - y y 0)
A nyomás és a magasság változását a folyadék statikájának alapvető egyenletéből vezetik le
az ideális gázegyenlet mellett
P V = m M A R T P = ρ M A R T
ahol MA = 0,0289 kg/mol a levegő molekulatömege.
d P = - PMA gy 0 RT 0 1 y 0 - ydy ∫ P 0 P d PP = - MA gy 0 RT 0 ∫ 0 y 1 és 0 - ydy ln PP 0 = η (ln (y 0 - y) - ln y 0) η = MA gy 0 RT 0 P = P 0 (1 - yy 0) η