Méretek és egységek (GIE)
Laplace-től
Tartalom
1 Méretek
1.1 Közvetlen és közvetett intézkedések
Legegyszerűbb változatában a intézkedés egy kísérleti eredmény és egy minta összehasonlítása (mértékegység). Vagyis amikor azt mondják, hogy egy távolság 3 m, akkor azt mondják, hogy a mért hosszúság háromszorosa a szokásos mérésnek, 1 m.
Közvetett vagy származtatott mennyiségek közvetlen kísérleti mérések sorozatából nyerhetők. Például egy téglalap alakú helyiség alapterületének méréséhez elegendő megmérni a két oldal hosszát és alkalmazni a képletet = h . Ezeknek a kapcsolatoknak a megléte lehetővé teszi számunkra, hogy meghatározzuk az alapok és a derivatívák nagyságát.
1.2 Egy mennyiség méretei
Függetlenül attól, hogy a fizikai mennyiség kifejezésére milyen mértékegységet használnak, ezeket különféle típusokba sorolják, attól függően, hogy miként adhatók hozzá. Például hozzáadhatunk 3 km távolságot 2 mérföld távolsághoz, vagy hozzáadhatunk 5 kg-ot 3 fonthoz, de tudjuk, hogy helytelen 3 km-t hozzáadni 5 kg-hoz. Látjuk, hogy van valami alapvetőbb, mint a mértékegység, és ez a kérdéses nagyságrend típusa: távolság, tömeg, idő, ... Ezeknek a típusoknak mindegyikét ún. dimenzió és azt mondjuk, hogy egy mennyiségnek "távolságmérete" vagy "tömegmérete" van.
1.3 Dimenziós homogenitás
A nagyságrendek osztályozásához a dimenziós homogenitás elve amely kimondja, hogy:
Minden egyenletben és összegben az egyező vagy hozzáadott kifejezéseknek azonos dimenziókkal kell rendelkezniük.
Ez egy divatos módja annak, hogy "nem adhatunk körtét az almához". Ez az elv rendkívül hasznos eszköz a hibák kiszámításához a számításokban. Képzeljük el, hogy egy probléma eredményeként az erő egyenlő
lény r egy rádió és NAK NEK egy állandó. Ez az egyenlet szükségszerűen téves, anélkül, hogy bármilyen számértéket kellene helyettesíteni. Hozzáadunk egy távolságot, r, (amelynek hosszméretei vannak) négyzetes távolsággal (amely terület lenne). Mivel ezeknek a mennyiségeknek különböző dimenziói vannak, az egyenlet nem érvényes.
Itt van egy másik példa egy méretben hibás egyenletre:
A dimenziós homogenitás lehetővé teszi, hogy gyorsan megtalálja a hibákat a probléma eredményeiben.
A mennyiségek közötti kapcsolat nem jelent konkrét egységet (csak a méreteket). Amikor azt mondjuk, hogy Sevilla és Cádiz közötti távolság megegyezik Sevilla és Huelva közötti távolsággal, nem mindegy, hogy kilométerben vagy hüvelykben mérjük. Ezért helytelen olyan törvényt írni, mint
(rossz kifejezés)
mivel az energiát kifejezhetnénk ergben, kalóriában, kilowattórában vagy sok másban, attól függően, hogy hogyan mérjük a tömeget vagy a sebességet. Ezért a szabály az, hogy ha egy képlet tisztán algebrai, ne egységeket kell tartalmazni. Ezzel szemben, ha egy vagy az összes numerikus értéket helyettesítjük, akkor az kívánt egységeket tartalmazni.
1.4 Méretegyenletek
Bár különböző nagyságrendeket nem lehet hozzáadni, meg lehet szorozni. Oszthatunk egy távolságméretű mennyiséget egy időmérettel, és egy sebességméretű mennyiséget kaphatunk. Ezt a relációt írjuk
ahol a zárójel a "méreteket" jelenti. Ragaszkodnunk kell ahhoz, hogy ez az egyenlet ne mondja meg nekünk, hogy a sebesség megegyezik az idővel osztott térrel, hanem hogy egységei olyan távolságok, amelyeket elosztunk egy idővel (ami lehet például m/s vagy km/h).
A dimenziós homogenitás lehetővé teszi számunkra az ismeretlen mennyiségek dimenzióinak meghatározását. Így Hooke törvényében
elmondja nekünk, hogy az állandó k erőmérete osztva a távolsággal
(például N/m-ben mérik).
A dimenziók közötti kapcsolatok megléte lehetővé teszi számunkra, hogy a mennyiségeket alapokra és deriváltakra osztjuk. Olyan kapcsolatról, mint
azt kapjuk, hogy a terület méretei megegyeznek egy négyzetnyi távolsággal, amelyet így írhatunk
Ily módon bármely mennyiség dimenziói kifejezhetők az alapvető mennyiségek sorozatának hatványaként.
Így például a sebesség megegyezik a távolság hányadosa osztva egy időintervallummal, és ezért a dimenziós egyenletet ellenőrizzük
Itt a távolságot és az időt alapvető mennyiségeknek, a sebességet pedig mennyiségnek tekintjük derivált.
Az alapvetőnek választott nagyságrendek, sőt számuk is önkényes. Az SI-ben hét alapvető mennyiség van: hossz, idő, tömeg, az elektromos áram intenzitása, anyagmennyiség, termodinamikai hőmérséklet és fényintenzitás. Az összes többi származik.
Minden származtatott mennyiségnek egy dimenziós egyenlete van, amelyet az alapmennyiségek különböző kitevői jellemeznek.
| Terület | [] = [x] két | |
| Hangerő | [V] = [x] 3 | |
| Sebesség | [v] = [x]/[t] | |
| Gyorsulás | [nak nek] = [v]/[t] | |
| Kényszerítés | [F] = [m] [nak nek] | |
| Munka | [W] = [F] [x] | |
| Erő | [] = [W]/[t] |