A Föld felszínén h magasságból kilőtt lövedék útja
Égi dinamika
A Kinematika fejezetben a lokális vízszintes síkban a parabolikus pályákat leíró lövedékek mozgását vizsgáltuk, feltételezve, hogy a gravitáció gyorsulása állandó.
Az "Univerzális gravitáció törvényének felfedezése" című oldalon megfigyeltük, hogy egy bizonyos magasságból kilőtt lövedék elliptikus utat ír le, amelynek egyik fókuszánál a Föld középpontja található. A parabolikus pályák az elliptikus pályák közelítései, amikor a lövedék hatótávolsága és maximális magassága a Föld sugarához képest nagyon kicsi.
Azt is feltételezzük, hogy a Föld nem forog a tengelyén. A Föld forgásának hatását a "Leeső test kelet felé történő eltérése" című oldalon ismertetjük.
Ezen az oldalon meg fogjuk határozni a magasságból kilőtt lövedék pályáját h, kezdeti sebességgel v0 szöget készíteni φ sugárirányban.
Ezen az oldalon a következő információkra lesz szükségünk:
A Föld sugara R= 6,37 · 10 6 m
A Föld tömege M= 5,98 · 10 24 kg
Az állandó G= 6,67 10 -11 Nm 2/kg 2
A pálya egyenlete
| Tömeges lövedéket lőnek ki m távolról r0=R + h a Föld közepétől, sebességgel v0 szöget készíteni φ a sugárvektorral. A lövedék szögmomentuma és energiája |
Az út egyenlete polárkoordinátákban az
Ha a lövedék energiája negatív ÉS 6 + 6,37 10 6 m
A lövedék maximális magassága h= 18,03 · 10 6 -6,37 · 10 6 = 11,66 · 10 6 m
Az a sebesség, amellyel eléri a Föld felszínét v= 8999,6 m/s
A lövés szöge φ= 180є.
| Perdület L= 0, tehát az út egyenes vonal az erők középpontján keresztül. A lövedék a sugárirány mentén ereszkedik le, amíg el nem éri a Föld felszínét ugyanazzal a sebességgel, mint amit az előző szakaszban kiszámítottunk. |
Egy lövedéket indítunk a helyzetből r0= 6,0 10 6 + 6,37 10 6 m kezdeti sebességgel v0= 4500 m/s sugárirányban és a Föld közepe felé
Az a sebesség, amellyel eléri a Föld felszínét v= 8999,6 m/s
A lövés szöge φ= 90є.
Maximális hatósugár
A maximális tartomány akkor fordul elő, amikor a perigee R, és az apogee az r0 = h + R.
Mivel a szögimpulzus és az energia a pálya minden pontján állandó, különösen a perigéjén és az apogeénél,
Az adatok r0 Y R és az ismeretlenek v Y v0. A tűz sebessége
Példa: Legyen h= 6000 km, vagy a sugárirányú távolság r0= 12,37 · 10 6 m
Kiszámoljuk a tűz sebességét, v0= 4681,969 m/s
Az ellipszis féltengelye az nak nek= (R + r0) /2=14.37·10 6 m
A repülési idő az időszak fele
Az ütközési pont helyzete
Amint az ábrán láthatjuk, a lövedék elhagyja a helyzetet θ= π, és hatással van a pozícióra θ= π-α amikor r = R.
felrakás r = R A pálya egyenletében megoldjuk a szöget θ.
Az előző esetek ugyanazon adataival folytatva:
Lövés sugárirányú távolság r0= 12,37 · 10 6 m
Kezdeti sebesség v0= 4500 m/s
Lövési szög φ= 90є.
Megkapjuk a szögimpulzus és a lövedék energiájának értékeit
L= 5,57 10 10 m kgm 2/s
ÉS= -22,12 10 6 m J
Az energia és a szögimpulzus ismeretében meghatározzuk az út egyenletét, a paraméter értékét d és különcség ε
ε= 0,372
d= 7,77 · 10 6 m
Ezekkel az adatokkal, amivel r= 6,37 · 10 6 m a pálya egyenletében megkapjuk a szöget θ= 0,934 rad.
Az ütközési pont és a lövési helyzet közötti szögtávolság
α= π-0,934 = 2,20 rad
Hívott ív ívhosszon a Föld ennek a szögtávolságnak megfelelő kerülete, s = R a= 14,03 · 10 6 m