A mozgásegyenletek numerikus megoldása
Égi dinamika
Tevékenységek
| Ezen az oldalon egy tömeg testének mozgását vizsgáljuk m amikor az X tengely egy pontjától távolról indítják r1 a rögzített erőközpont, növekvő sebességgel v1 merőleges a sugárvektorra. |
Kepler törvényei leírják a bolygók mozgását a Nap körül, anélkül, hogy megvizsgálnák az ilyen mozgást kiváltó okokat.
1.-A bolygók ellipszis alakú pályákat írnak le a Nappal az egyik gócban.
2.-Bármely bolygó vektor-helyzete a Naphoz viszonyítva, az ellipszis egyenlő területeit egyenlő idő alatt söpri el.
3.-A forradalmi periódusok négyzetei arányosak az ellipszis féltengelyeinek kockáival.
Newton törvényei nemcsak Kepler törvényeit magyarázzák, hanem az égitestek egyéb pályáit is megjósolják: példabeszédeket és hiperbolákat. Általánosságban elmondható, hogy a gravitációs vonzó erő hatására egy test egy sík pályát ír le, amely kúp.
Mint említettük, az égitest és a Nap közötti vonzerő központi és konzervatív tulajdonságai meghatározzák két elsőrendű differenciálegyenlet rendszerét, amelyek poláris koordinátákban kifejezve a pálya egyenletéhez, egy kúphoz vezetnek.
Az interaktív program más módon halad, kiszámítja a gyorsulás összetevőit az X tengely mentén és az Y tengely mentén, így két másodrendű differenciálegyenletből álló rendszer keletkezik, amelyeket numerikus eljárásokkal oldanak meg.
A mozgásegyenletek numerikus megoldása
Tegyük fel, hogy a tömeg egy részecskéje m (egy bolygó) vonzódik egy hatalmas tömegű testhez M (a Nap) Feltételezzük, hogy a részecske hatása a testre elhanyagolható, az eredetnél nyugalmi állapotban marad.
A részecske vonzó erőnek van kitéve F amelynek iránya sugárirányú és a Nap közepe felé mutat.Az erőmodulust az univerzális gravitáció törvénye adja.
Az erő összetevői
Newton második törvényét alkalmazva, és a gyorsulást a pozíció második deriváltaként kifejezve két másodrendű differenciálegyenletből álló rendszerünk van.
A kezdeti feltételeket (helyzet és kezdeti sebesség) figyelembe véve két differenciálegyenlet rendszere megoldható a Runge-Kutta numerikus eljárás alkalmazásával.
Mérleg
Mielőtt numerikus eljárásokkal megoldanánk a differenciálegyenlet-rendszert, célszerű azokat úgy elkészíteni, hogy a számítógép ne kezeljen túl nagy vagy kis számokat.
Létrehozzuk az egységek rendszerét, amelyben a hosszt csillagászati egységekben mérjük, a Nap és a Föld közötti átlagos távolságot. L= egy AU = 1,496 · 10 11 m, és az idő évegységekben, = egy év = 365,26 nap = 3,156 10 7 s.
Az új egységrendszerben x = Lx ’, t = P · t ’, az első differenciálegyenlet meg van írva
Mit L a Föld körüli Nap körüli pálya féltengelye, az az időszak vagy idő, amely a teljes forradalom elkészítéséhez szükséges, és M a Nap tömege. Kepler harmadik törvénye szerint a kifejezés
Visszatérve a jelölésre x és Y pozícióért és t időre az új egységrendszerben. A differenciálegyenletek rendszere fel van írva
Az energia megőrzésének elve
A részecske teljes energiája állandó mozgás. A tömegrészecske energiája m a kezdeti pillanatban t= 0 van
Amikor E0 Ahogy látjuk R megegyezik a paraméterrel d, beavatkozik az ellipszis egyenletébe poláris koordinátákban.