Az inga
Oszcillációk
Tevékenységek
Egy ellipszis hossza.
A Merev szilárd fejezetben egy összetett inga kis rezgéseit vizsgáltuk. Ezen az oldalon egy inga általános viselkedését fogjuk tanulmányozni, kis és nagy amplitúdók esetén, és még akkor is, amikor az inga megfordul.
Az összetett inga viselkedését leíró differenciálegyenlet
(1)
Amikor a q szög kicsi, akkor sin q »q . Az inga egy M.A.S. kinek az időszaka P0 van
Az inga periódusa
Tegyük fel, hogy az inga stabil egyensúlyi helyzetben van, és energiával látjuk el ÉS.
Az inga kezdeti w 0. sebességet kap. Ahogy mozog egy q szöget, a forgási mozgási energia potenciál energiává alakul át, amíg el nem éri a q 0 maximális eltérést, amikor w = 0. Ezután az inverz folyamatot hajtjuk végre, a potenciális energiát átalakítjuk forgási kinetikai energiává, amíg újra át nem megy a q egyensúlyi helyzeten =0, az összes potenciális energiát kinetikussá alakították, az inga szögsebessége lesz - w 0. Ezután az inga ismét eléri maximális lehajlását - mit 0, végül visszatér a stabil egyensúlyi helyzetbe, befejezve az oszcillációt.
Amikor az inga eléri a w = 0 legnagyobb eltérést, és E = mgb(1-cos q 0)
Az idő letisztítása dt a differenciálegyenletben
Amikor az inga eléri a q maximális lehajlást = q 0 Vagy ha j = p/2, akkor az időszak negyedét használta fel teljes lendülettel.
A kifejezés egy rezgésről megírhatjuk
hol P0 a kis amplitúdójú rezgések időszaka.
Az integrált első típusú teljes elliptikának nevezzük. Az ezt követő interaktív program kiszámítja a hányadost P/P0 amikor bevezetjük az amplitúdót θ0 rezgés. A számítás a Carlson-eljáráson alapszik az első megnevezett elliptikus integrál megkeresésére RF (x, y, z). Megy Numerikus receptek C-ben, Speciális funkciók. 6. fejezet
Program az inga periódusának kiszámításához bármilyen amplitúdóra
Soros fejlesztés
Sorozatosan fejlesztjük az elliptikus integrál nevezőjét
Az integrál lesz
Az integrálok megoldásához a következő trigonometrikus összefüggéseket használjuk:
A periódus soros fejlődése van
(két)
Ha az amplitúdó kicsi, írhatunk
és az időszak kb
Ez az első közelítés az inga periódusának képletéhez
A végső következtetés az, hogy az időszak a q amplitúdóval növekszik 0. Míg az időszak A 0 független az amplitúdótól, mindaddig, amíg az amplitúdó nem túl nagy, és a sin q »q közelítés alkalmazható .
Hozzávetőleges képletek az inga periódusához
Bármely amplitúdóhoz számos közelítő képlet ismert az inga periódusára, amelyek összehasonlíthatók a pontos kifejezéssel
A grafikus ábrázolás megfelel a rózsaszín görbének, amely a legjobban megközelíti a vörös görbét.
A grafikus ábrázolás megfelel a fekete görbének, amely valamivel jobb, mint az előző a piros görbének.
A grafikus ábrázolás megfelel a zöld színgörbének, amely a legjobban megközelíti a vörös színgörbét.
Potenciális energiagörbe
Amint ebben a fejezetben már láthattuk, a potenciális energiagörbék kvalitatív információkkal szolgálnak a fizikai rendszer viselkedéséről.
Az inga potenciális energiája az ÉSp =mgb(1-cos q). Az inga maximális potenciális energiája 2mgb, amikor fordított helyzetben van. Az applet jobb felső részében képviseljük a potenciális energia hányadosát ÉSp a maximális teljesítményenergia között, a q szög, vagyis a függvény függvényében
Ezekben az egységekben a maximális potenciális energia egység q-ra = p, amikor az inga megfordul (instabil egyensúlyi helyzet), és a q minimuma (nulla) =0, stabil egyensúlyi helyzet.
Ebben a diagramban fekete vonallal ábrázoljuk a teljes energiát ÉS, a potenciális energia és a mozgási energia összege. A vörös szín függőleges szegmense jelzi az inga potenciálenergiáját a q helyzetben , és egy kék színű szegmens az inga mozgási energiája abban a helyzetben. Az összes, a mozgási és a potenciális energia értékét elosztottuk a maximális potenciális energiával 2mgb.
Az energia megőrzésének elve kimondja, hogy a mozgási energia és a potenciális energia összege állandó. Tehát a mozgási energia akkor maximális, ha a potenciális energia minimális (amikor az inga áthalad a stabil egyensúlyi helyzeten), és a mozgási energia minimális (nulla), amikor az inga eléri a maximális elhajlást.
A fázisdiagramon ábrázoljuk a w szögsebességet (vagy az I0 szögetW ) a q szögeltolódás függvényében .
Ha egy fizikai rendszer mozgása periodikus, akkor a teljes ciklus után a rendszer visszatér ugyanabba az állapotba. Pályájának reprezentációja a fázistérben zárt görbe.