A bomlási arányok helyreállítási elemzése a T2-súlyozott agyi képalkotásban

1 A bomlási ráták visszanyerésének elemzése a T-súlyozott agyképekben

bomlási

3 A bomlási ráták visszanyerésének elemzése a mágneses rezonancia T2-súlyozott agyképeiben Szerző: Rodney Jaramillo Justinico A matematikai tudományok doktora cím megszerzésének részleges követelményeként bemutatott munka Igazgató: Marianela Lentini Gil Kolumbiai Nemzeti Egyetem Medellín Campus Kar Tudomány matematika posztgraduális diploma 2014. június

4 Ezt a munkát a Kutatási Alelnöki Hivatal részben támogatta a Tudományos számítástechnikai csoport megerősítése című projekt révén, Hermes kód: 16084

5 Köszönetnyilvánítás Köszönetet mondok kollégáimnak és barátaimnak, a Matematikai és Statisztikai Iskolák tanárainak, akik biztató szavakat ajánlottak fel e projekt megvalósításához, különösképpen Carlos Mejíának, Marco Palusznynak, Hugo Arbeláeznek és Juan Carlos Salazarnak. mély köszönet Beatriz Correa-nak, akinek ragaszkodása nélkül nem folytattam volna doktori tanulmányaimat, nagyon különleges hála érzem tanácsadómat, Marianela Lentini professzort, odaadásáért és különösen tanításaiért, példájáért, bizalmáért és barátságáért., Köszönöm azoknak a feltétel nélküli szeretetét, akik alig várták, és néha a szeretett ember türelmetlenségével, ennek a tézisnek a befejezését: édesanyám Gladys, apám Ludoberto, feleségem Olga Rocío és gyermekeink, Samuel és Juana

9 Tartalom-jegyzék Absztrakt absztrakt Tartalom-jegyzék i ii iii Bevezetés 1 1 A Prony módszer változata 3 11 Prony típusú módszerek 3 12 A Prony módszer változata 5 2 Stabilitási elemzés Numerikus szimulációk 17 3 Szűrők a wavelet tartományban a zaj csökkentésére a mágneses rezonancia képalkotásban Szűrők megvalósítása a hullámtartományban a mágneses rezonancia képalkotáshoz Az adatok torzításának megszüntetése Rice eloszlást követően Új szűrő megvalósítása a hullámtartományban a mágneses rezonancia képalkotáshoz Formula a skála koefficienseihez szűrő algoritmus a mágneses rezonancia képek zajcsökkentéséhez Numerikus eredmények szintetikus képekről Következtetések és az eredmények megbeszélése 53 iii

10 Irodalomjegyzék 54 iv

13 1. fejezet A Prony módszer változata 11 Prony típusú módszerek A Prony típusú módszerek egy olyan családot alkotnak, amelyek lehetővé teszik többek között a kyi = b + C je iλ jtj = 1 egyenletrendszer által adott exponenciális kiigazítás megoldását. i = 1, n, Ha az (1) által megadott formulában b = C 0 és λ 0 = 0 van megadva, akkor az yi adatoknak meg kell felelniük a µ (ti) = µ (it) yi modellnek, ahol µ az adott függvény µ (t) = k C je λjt j = 0-val. Ezeket a módszereket, más néven polinomi módszereket, jellemzi, hogy µ (t) kielégíti a forma különbségegyenletét (δk + 2 E k δ 2 E + δ 1) µ (t) = 0, (2) ahol az E operátort (Eµ) (t) = µ (t + t) adja meg, és a β j = e λ jt értékek a P polinom gyökerei (z) = δ k + 2 zk δ 2 z + δ 1 = 0, (3) amely a (2) differenciálegyenlettel összefüggő jellegzetes polinom. A (2) kiértékelésekor ti = it, i = 1, nk Az 1. ábrán megkapjuk az δ k + 2 µ (t k + 2) + + δ 1 µ (t 1) = 0 δ k + 2 µ (tn) + + δ 1 µ egyenleteket (t n k 1) = 0 3

17 Ebben az esetben az α (z) polinom együtthatói a β 1 ​​, β k szimmetrikus függvényei, amelyeket w (k) 1 = β β kw (k) 2 = β l β rlrw (k) 3 = lr határoz meg., ls, srw (k) k 1 = (1) k β l β r β sk (k) β lj = 1 w (k) k = (1) k + 1 ljk β j, ezeket az együtthatókat oldatként számoljuk egyenletrendszer Végül a β j a j = 1 M (k) w (k) = Q (k) (12) α (k) (z) = zkkj = 1 w (k) jzkj polinom gyöke. (13) Az alábbiakban felsorolt ​​két tétel létrehozza az összefüggést, amely fennáll az imént leírt eljárással kapott megoldás és a 11. szakaszban leírt módosított Prony módszer között. 1. tétel Legyen R az alábbiakban meghatározott kk sorrendű mátrix: R = 1, ha k = 1, és k> 1 1 esetén, ha i = j, R (i, j) = 1, ha j = i + 1, 0, különben hagyja P (z) és α (k) (z) a (3) és (13) pontban meghatározott polinomok, ha δ = [δ 1, δ k + 1, 1] a (9) optimalizálási feladat megoldása, akkor a w (k ) = R 1 [δ k, δ 1] T kielégíti továbbá: M (k) w (k) Q (k) = XT δ és P (z) = (z 1) α (k) (z) Teszt Az oldat δ = A [9] közül [δ 1, δ k + 1, δ k + 2] kielégíti a δ k + 2 = 1 értéket. Abban az esetben, ha figyelembe vesszük, hogy β 0 = 1 a P (z) gyökere, amelyből az következik, hogy δ j = 1 k + 1 j = 17

18 Ezután M (k) w (k) Q (k) = M (k) R 1 Rw (k) Q (k) = M (k) R 1 δ ḳ y k + 1 és k + 2 δ 1 yn 1 yn = M (k) R1 δ ḳ 1 [k + 1 j = 1 δ j] és k + 1 yk + 2 [k + 1 j = 1 δ j] yn 1 yn = M (k) R 1 ḳ ḳ + yk + 1 és k + 1 δ ḳ + δ 1 yn 1 yn 1 δ 1 δ k + 2 és k + 2 yn + δ k + 1 és k + 1 yn 1 = δ k + 2 és k + 2 yn + δ k + 1 és k + 1 yn 1 + M (k) R1 δ ḳ + yk + 1 és k + 1 δ ḳ δ 1 yn 1 yn 1 δ 1 = δ k + 2 és k + 2 yn + δ k + 1 yk + 1 yn 1 + ykyk 1 y 1 yn 2 yn 1 ynk 1 δ ḳ δ 1 8

19 = y 1 és 2 és k + 2 és 2 és 3 és k + 3 és 3 és 4 és k + 4 ynk 1 ynkyn δ 1 δ 2 δ k + 1 δ k + 2 = W és δ A (6) egyenletből következik, hogy Most a P (z) polinomra P (z) = δ k + 2 zk δ 2 z + δ 1 ((k = (z 1) zk = (z 1) = (z 1) (( j = 1 M (k) w (k) Q (k) = XT δ y (k 1 δ j) zk 1 j = 1 δ j) zk 2 (δ 1 + δ 2) z δ 1) zkw (k) 1 zk 1 w (k) 2 zk 2 w (k) k 1 zw (k) kzk = (z 1) α (k) (z) kj = 1 w (k) jzkj)) 2. tétel Tegyük fel, hogy létezik csak megoldás az optimalizálási feladatra (9) A δ R k + 2 vektor akkor és csak akkor megoldás a (9) feladatra, ha R 1 [δ k, δ 1] T a (12) lineáris egyenlet legkisebb négyzetes megoldása. Bizonyítás Legyen δ R k + 2 a (9) feladat megoldása, ζ = R 1 [δ k, δ 1] T, és legyen ψ a lineáris rendszer legkisebb négyzetes megoldása (12) Az 1. tételből az következik, hogy XT δ y = M (k) ζ Q (k) min M (k) z Q (k) z = M (k) ψ Q (k) (14) Vegyük figyelembe a [by k, ξ 1] T = Rψ (15) és γ Rk + 2, k k = = [ξ 1, ξ k, 1 ξ j, 1] T (16) j = 1, a ( 1) van M (k) ψ Q (k) = Xγ T és 9