A szentpétervári paradoxon a megoldás

Pár nappal ezelőtt bemutattunk egy kis rejtélyt, amelyet Szentpétervár-paradoxon néven ismerünk. Arról szól a szerencsejáték amelynek várható értéke végtelen, ezért a játék valós árának is végtelennek kell lennie, annak ellenére, hogy ez ellentmond az intuíciónak és a józan észnek. Hol van a hiba vagy a fogás? amint azt az eredeti bejegyzésben már mondtuk, a matematikai eredmény tökéletesen helyes. Valami azonban elmenekül tőlünk.

megoldás

Nagyon érdekes ötletekkel és nézőpontokkal járultak hozzá a hozzászólások. Véleményem szerint mind közülük a legérdekesebb tükröződés azoknak, akik úgy gondolják, hogy a játék "valós" várható értéke hányszor játszhatunk, nem lehet végtelen, fizikailag korlátozott. De ennek ellenére a játék várható értéke még mindig túl nagy ahhoz, hogy a valós ár elfogadható legyen (például ha ezer pörgetés felső határa lenne, a várható érték 500 euró lenne, de annak valószínűsége, hogy túllépjük öt vagy hat arc egymás után még mindig ugyanolyan távoli).

A rejtély megoldása 1738-ban jött pontosan Daniel bernoulli, Nicholas Bernoulli unokaöccse (aki a paradoxont ​​javasolta), bár Gabriel cramer Évekkel korábban már számítottam az eredményre. A kulcs abban a nyomban van, amelyet az eredeti megközelítésben már megadtunk: a a pénz értéke Ez nem ugyanaz a matematikusoknál, mint a közönséges halandóknál.

Valójában "A szerencse mérésének új elméletében" Daniel Bernoulli a következőket állítja:

A hasznossági függvény (u (x)) az a trükk, amellyel a közgazdászok képesek matematikailag képviselni a gazdasági szereplők preferenciáit, és egy racionális ember esetében, bár mindig növekszik, egy homorú (vagyis egyre lassabban növekszik). A józan ész támogatja ezt az intuíciót. A "valódi" 100 euró értéke annak, akinek nulla, óriási (mivel ez túlélés kérdése), de annak, akinek már millió eurója van, elhanyagolható. Más szavakkal, a határhaszon a pénz csökken.

Ezért nem a játék várható értékét kell mérnünk, hanem a várható hasznosságot (amelyet U-nak fogunk nevezni). A másik bejegyzés képleteit áttekintve gyorsan rájöhetnénk, hogy az említett segédprogram U = (1/4) u (2) + (1/8) u (4) + (1/16) u (8) +. = Σ [u (2 n)/2 n + 1], ahol u (x) az x euró fogadásának hasznosságát jelenti.